miércoles, 6 de diciembre de 2017

Mi primer teorema: un teorema de Thales



¡¡Cuánto echo de menos que se enseñe más Geometría en educación secundaria!!

Dicen que la primera demostración, como tal,  de un teorema de  matemáticas se debe a Thales de Mileto. Es el conocido como segundo teorema de Thales, que dice

"Cualquier ángulo inscrito en una semi-circunferencia es recto"


Yo suelo hacerles la demostración a los alumnos de la ESO y descubro con mucho agrado que a los chicos les encanta ver que la parte más bonita de las matemáticas consiste en demostrar teoremas.

La demostración de este primer teorema se comprende con facilidad y demuestra un hecho que en principio sorprende por su generalidad. Es decir, este es, sin duda, un buen primer ejemplo para enseñar qué es un teorema de matemáticas y cómo se hace una demostración. (Herramientas básicas de la geometría)

La demostración se basa en estos dos hechos:
1) Los triángulos isósceles tienen dos ángulos iguales. (Es el famoso pons asinorun del los Elementos de Euclides). Este resultado se puede hacer muy evidente doblando papel.
2) La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es un ángulo llano. Este resultado también se puede hacer evidente de manera muy intuitiva. Ver aquí.

Viendo la imagen del principio, resulta que para la demostración del teorema basta observar: Por un lado, que el triángulo ABO es isósceles porque tuiene dos lados que son iguales por ser radios de la misma circunferencia. Y por otro, que el triángulo BOC también es isósceles por tener dos lados iguales, que son radios de la misma circunferencia.

Naturalmente, este tipo de cosas no entran en los exámenes.





 

jueves, 30 de noviembre de 2017

¿No habría que replantearse las EvAUB?



Creo que hoy en día las EvAUB son la ANTI-EDUCACIÓN.¿No merecería la pena replantearselas?

Acabo de recibir las instrucciones sobre el uso de las calculadoras en la EvAUB. ¡Vaya disparate! Ahora va a resultar que los alumnos van a tener que buscar en los mercadillos de la red calculadoras vintage que hace más de 20 años que ya no se fabrican. Ahora nos va  tocar a los profesores de matemáticas desincentivar a  a los alumnos para que no usan calculadoras modernas y menos aún programas informáticos.

La consecuencia de la psicosis por los exámenes es que todo lo que no entra en la EvAUB sale por la ventana:

- Hacer demostraciones.¡Fuera!
- Buscar información en libros ¡Fuera! 
- Comprobar las soluciones hasta estar seguro de lo que se dice ¡Fuera!
- Hacer ejemplos reales ¡Fuera!
- Estudiar laboriosamente ¡Fuera!
- Tener ganas de aprender cosas nuevas ¡Fuera!
- Ser tenaz hasta comprender, y profundizar en las ideas. ¡Fuera!
- Disfrutar aprendiendo y resolviendoproblemas ¡Fuera!

¿Qué nos queda de las matemáticas si quitamos todo esto? ¿Qué nos queda del valor formativo de las matemáticas? Nada de Nada Luego,

Luego, para colmo, muchos alumnos buenos a los que les gustan las matemáticas huyen de cursarlas porque les baja "la media".  ¡Pues qué bien!

Es una evidencia que los alumnos de bachillerato eligen las asignaturas que cursan completamente al margen de su interés formativo (solo por por su influencia en las notas). Véase elo que ha pasado conlaReligión en la LOMCE.


domingo, 22 de octubre de 2017

A vueltas con los centros de gravedad y la geometría. El paralelogramo de Varignon y el paralelogramo de Wittenbauer




Aquí os traigo unos bonitos problemas de geometría tomados del maravilloso libro de H.S.M CoxeterFundamentos de Geometría.

(un vídeo de Coxeter explicando la geometría en Escher)





Paralelogramo de Varignon (1654-1722)
a) Dado un cuadrilátero convexo cualquiera, los puntos medios de sus lados son los vértices de un paralelogramo.

b) El área de este paralelogramo es la mitad  de la del cuadrilátero.

c) El centro de gravedad de masas iguales situadas en los vértices del cuadrilátero  es el centro del paralelogramo de Varignon.





Paralelogramo de Wittenbauer (1857-1922)

a) Dado un cuadrilátero convexo, si se dividen sus lados en tres partes iguales, la figura formada por las rectas que unen puntos contiguos es un paralelogramo.

b) El centro de gravedad del área del cuadrilátero original es el centro del paralelogramo de Wittenbauer.



A continuación os pongo mis notas manuscritas resolviendo los dos problemas anteriores. Algunos amigos me han pedido que no las ponga en limpio; que las deje como están. Según ellos así resultan más formativas (son muy generosos).Aunque en cierto modo, creo que les doy la razón. Enseñar matemáticas es básicamente ensdeñar cómo se hacen matemáticas

Paralelogramo de Varignon

   Varignon by Ángel de la Llave on Scribd



Paralelogramo de Wittenbauer


miércoles, 18 de octubre de 2017

Propuestas de la Real Sociedad Matemática Española para el Pacto Educativo



Texto de la comparecencia del Presidente de la Real Sociedad Matemática Española, D. Francisco Marcellán,  ante la Comisión de Educación y Deportes del Congreso de los diputados que tuvo lugar el 24 de mayo de 2017.

UN RESUMEN

TEXTO COMPLETO
Buenas tardes, agradezco en primer lugar a los grupos parlamentarios que han propuesto nuestra comparecencia, así como a la Comisión de Educación de la Real Sociedad Matemática Española por el apoyo que me ha aportado para esta presentación. Es una presentación en la cual habla un presidente de una sociedad científica, pero es el fruto de un trabajo colectivo en el cual esa Comisión de Educación ha jugado un papel central.
Para darles una información general de quiénes somos, porque algunos de ustedes no lo sabrán, la Real Sociedad Matemática Española es una sociedad científica, cuyos fines son la promoción y la divulgación de las matemáticas y sus aplicaciones y el fomento de su investigación, así como de su enseñanza en todos los niveles educativos. Estamos aquí no solamente como sociedad científica sino como una sociedad preocupada por la educación, con un concepto de transversalidad que va más allá de las divisiones usuales en el sector educativo: primaria, secundaria, formación profesional y universidad.
Nuestra sociedad fue creada en 1911, en una época en la que el país bebía de la que se llamaba la edad de plata de la ciencia y la cultura y la mayoría de sus socios son profesores universitarios, investigadores, así como profesores de enseñanza secundaria. Un porcentaje significativo de ellos imparten docencia en el grado de Maestro de Educación Primaria o en el máster de Formación del Profesorado de Secundaria. Nuestra vinculación con los docentes en todos los ámbitos educativos está perfectamente definida.
En la estructura organizativa de la Real Sociedad Matemática Española existen dos comisiones que se ajustan perfectamente al perfil de esta comparecencia: una Comisión de Educación, de la que hablaré después con más detalle, y una Comisión de Olimpiadas que lleva a cabo la tarea de atraer para detectar talento entre los estudiantes de secundaria y bachillerato. La Real Sociedad Matemática Española no es una singularidad, puesto que desarrolla actividades y colabora de manera habitual con otras sociedades matemáticas españolas y de otros muchos países. Pertenecemos a la European Mathematical Society (EMS), así como también al Comité Español de Matemáticas (Cemat), adherido a la Unión Matemática Internacional (IMU), que es la organización donde confluyen todas las sociedades y organismos matemáticos de España. De hecho, he de indicarles que yo soy el presidente del Cemat. Voy a hablar con el gorro de la Real Sociedad Matemática Española, pero también les puedo decir que muchas de las reflexiones que vamos a poner sobre la mesa están vinculadas al Cemat. A través del Cemat, estamos vinculados a la mayor institución a nivel mundial de las Matemáticas, la International Mathematical Union (IMU), y a su vertiente educativa, la Comisión Internacional para la Enseñanza de las Matemática (ICMI). La marca España está muy presente en estas dos organizaciones, a través de la organización del Congreso de la ICMI en Sevilla y del Congreso Mundial de Matemáticas, que se celebró en Madrid en 2006. España y sus matemáticos y matemáticas son bien conocidos en la comunidad internacional. Las matemáticas son una materia central en todos los sistemas educativos del mundo por dos razones: primero, por su carácter formativo, y segundo, por su carácter instrumental que se modela en crecientes aplicaciones en muy diversos ámbitos del conocimiento y del desarrollo de un país.
Mi comparecencia va a tener tres grandes bloques: un primer bloque va a tratar de los principios básicos, en los cuales voy a articular mi presentación y a continuación me centraré en dos aspectos que, a juicio de nuestra sociedad, son claves como la formación inicial y permanente del profesorado de primaria y también la formación del profesorado de ESO y bachillerato. Estos principios sobre los cuales voy a insistir son principios que vienen de la matemática, pero tienen una vocación universal.
El primer principio se refiere a que el aprendizaje de las matemáticas o, si se quiere, el desarrollo de la competencia matemática, tiene como ingredientes esenciales el pensamiento, el razonamiento y la resolución de problemas. Creo que es importante que esto lo tengamos claro, porque si este principio no se respeta, nos podemos encontrar con una disfuncionalidad en la concepción que se tiene de las matemáticas, ya que si no formamos personas competentes en matemáticas se genera en buena parte del alumnado una actitud negativa hacia una materia que, en primer lugar, es difícil, y lo más grave, es que no se entiende. Un potencial riesgo —es otro principio básico— es que la enseñanza de las matemáticas se reduzca a procedimientos y rutinas; esa distorsión entre pensar y aplicar miméticamente recetas que van en contra de la esencia de las matemáticas.
Un segundo planteamiento que queríamos destacar como principio básico, sin negar la importancia de los planteamientos didácticos y metodológicos que todo docente debe conocer y considerar como algo básico en su desempeño profesional, pretende poner el acento en la necesidad de la formación matemática adecuada del profesorado. Yo siempre defiendo el siguiente concepto: se enseña lo que se sabe, se enseña lo que se ha reflexionado, porque en ese proceso uno aprende también las dificultades que puede percibir el receptor de esa información.
El tercer principio se refiere a la valoración de las metodologías activas, que potencian la participación de los estudiantes en su proceso de aprendizaje. Queremos destacar que la extraordinaria abundancia de información accesible y recursos disponibles, superando el paradigma de que todo estaba en el libro de texto, hace más necesaria la existencia de un profesor que conozca y sea capaz de seleccionar cuáles son los contenidos más adecuados para el alumnado.
El cuarto principio hay que resaltarlo porque es un principio importantísimo. La detección y fomento del talento matemático son objetivos que históricamente ha asumido la Real Sociedad de Matemáticas Españolas, desde que en 1964 se desarrolló la Olimpiada Matemática Española. Estas olimpiadas que se realizan a nivel nacional, tienen su continuidad con la Olimpiada Matemática Iberoamericana, la Olimpiada Matemática Internacional y recientemente la Olimpiada Matemática Europea destinada a mujeres. Hemos visto que en matemáticas el techo de cristal hay que romperlo. Para ello, hay que estimular políticas positivas para las mujeres, porque las grandes matemáticas que ha habido han tenido que superar ese techo de cristal fruto de una masculinización de las ciencias, que el caso de las matemáticas ha sido unos elementos característicos hasta mediados del siglo XX. A modo de ejemplo les puedo señalar que un país como Brasil organiza unas olimpiadas, similares a la nuestra, donde participan medio millón de estudiantes, mientras que en primaria el número que participa en las olimpiadas es de dieciséis millones. Hay posibilidad de detectar talento entre dieciséis millones, si participan de una manera activa los estudiantes del sistema público brasileño.
A nuestra sociedad le preocupa que la atención a la diversidad en el sistema educativo español siga sin desarrollarse de manera adecuada. Esa diversidad requiere, por una parte, necesariamente de un reducido número de estudiantes por aula, y por otra parte, que la excesiva heterogeneidad no dificulte la tarea del profesorado para acompañar el aprendizaje de todos los estudiantes. Ese carácter inclusivo y de respeto a la diversidad debe primar la equidad, pero también el reconocimiento y talento que son elementos importantísimos que no solo definimos nosotros, sino que en el informe PISA están presentes de una manera continuada.
El quinto y último principio básico se refiere a los experimentos que se han lanzado, a través de reválidas o pruebas externas, incluidas las pruebas de acceso a la universidad. Queremos trasladar a la Comisión nuestra constatación de que el curso académico anterior a la celebración de las pruebas correspondientes se dedica única y exclusivamente a preparar la prueba. Dado que estas suelen estar muy estandarizadas, creemos que de estos procesos se deriva un empobrecimiento de la enseñanza de estos cursos, porque prima que los estudiantes vayan bien preparados, ante el propio hecho de un adecuado aprendizaje. Estos cinco principios pueden sentar las bases de cuál es nuestra aproximación al papel de las matemáticas en el sistema educativo.
Paso a continuación a desarrollar nuestra concepción del currículum de matemáticas globalmente en el sistema no universitario. En primer lugar, la participación de la comunidad educativa, y en concreto del profesorado, es un elemento clave a la hora de proponer cambios curriculares. Aquí hay un principio en el que me gustaría insistir: sin complicidad de los agentes educativos, las posibilidades de éxito de cualquier proceso de renovación se pueden desvanecer dramáticamente.
En segundo lugar, hay otro elemento que es importante destacar. Los currículos españoles de las asignaturas de Matemáticas son en general muy extensos, en nuestra opinión. Por querer completar el programa puede ocurrir que se ponga más énfasis en los procedimientos de cálculo, que en el razonamiento y la creatividad. Además, son procedimientos muy atomicistas, ya que en muchos casos se reducen a conceptos y procedimientos de cálculo aislados y no se fomenta la integración y aplicación de los mismos; en resumidas cuentas, la receta como consecuencia del aprendizaje de las matemáticas. En este sentido, nuestra propuesta va en la línea, siguiendo las recomendaciones de la OCDE, de reducir la cantidad para ganar en calidad.En tercer lugar, hay un elemento típico en nuestro sistema educativo, que es la enseñanza en espiral, por el cual en cada año se vuelve sobre conceptos del curso anterior, quizás con mayor profundidad, pero tiene el riesgo de que haya contenidos que se repitan igual que en el año anterior sin más profundización. Como Real Sociedad Matemática Española, les puedo indicar que estamos desarrollando un programa con la Comunidad de Madrid que está teniendo un gran éxito, en la medida en que durante los dos últimos años nos ha permitido, primero, incrementar el interés de los profesores, pero también debatir colectivamente, en un marco que va más allá del seminario concreto del centro escolar, las experiencias didácticas de mejora de la comprensión y la interpretación de las matemáticas.
Siguiente nivel educativo, ESO y bachillerato. Saben ustedes que para acceder a estos niveles es necesario un máster en formación del profesorado que, por su propia estructura, no puede completar las lagunas de formación y madurez matemáticas que tiene un número significativo de estudiantes en España. ¿Tiene sentido que tal alumnado supere el máster con ese déficit de conocimientos? ¿Ese es el tipo de profesorado que queremos preparar? Pensamos que es el momento de tener en cuenta los estudios que han ido apareciendo en estos años sobre ese perfil del profesorado, y revisar para darle mayor eficacia la estructura del máster y su relación con la oposición, así como la contratación de profesores interinos y la contratación en centros concertados y privados. Aquí ha surgido de manera sistémica la cuestión de un MIR educativo, que aparece de manera permanente en programas electorales, pero que no se ha llegado a concretar. Proponemos que en el transcurso del máster haya prácticas extensas e intensas y remuneradas que mejorarían notablemente la situación actual. Y creo que es importante señalar que la diversa formación de origen que existe entre el profesorado, la adaptación a cambios de calado con la aparición de nuevas tecnologías y las metodologías activas en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, así como las propuestas de cambio que hemos enunciado en el epígrafe de los currículos, hacen imprescindible ofrecer posibilidades de actuación real y no meramente formal al profesorado.
Resumiendo, unos ejes que consideramos importantes en el caso de las matemáticas: una concreción en los currículos y una acentuación del papel fundamental que juega el profesorado en los niveles educativos. Creo que es muy importante que los responsables de las políticas, pero también los profesores, no vivan aislados en su cajita sin conocer las realidades del nivel precedente. Yo soy profesor de universidad, doy clase en 1.º y las deficiencias de mis alumnos en matemáticas las achaco a una deficiente formación en matemáticas adquirida en el bachillerato. Pero los canales de comunicación con los profesores de secundaria, ¿saben ustedes cómo vienen? Por las pruebas de acceso a la universidad, por esa prueba. En el caso de secundaria ocurre exactamente lo mismo; las deficiencias matemáticas se adjudican a los defectos de la educación en primaria. ¿Existe una relación sistémica entre los profesores de secundaria y los de primaria? En modo alguno. Vivimos en un sistema educativo compartimentado y en el cual es necesaria una visión integral para detectar los problemas, que no son problemas singulares, sino que obedecen a un flujo importante.
Y a modo de conclusión, pensamos que España, nuestro país, tiene condiciones adecuadas para elaborar un buen sistema educativo comparable al de los países con mejores resultados en este ámbito. Pero para ello hacen falta, en primer lugar, una auténtica voluntad social y política que sitúe la cuestión educativa como prioritaria y en el centro del debate; en segundo lugar, recursos suficientes y propuestas con ideas claras, pero también políticas estables en el tiempo que tengan una visión de futuro. Como Real Sociedad Matemática Española brindamos nuestra colaboración para este apasionante trabajo que ustedes están llevando a cabo, la invitación a la sociedad civil para que se pronuncie en líneas de mejora en un tema que para nuestro país es fundamental. Consideramos al igual que organizaciones como la OCDE o la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, que el aprendizaje de las matemáticas es una necesidad indispensable para formar una ciudadanía adecuada en el siglo XXI en la llamada sociedad del conocimiento. Apelamos a los partidos políticos a priorizar un debate académico y, en algunos casos, a poner el interés en el futuro del país que representan las nuevas generaciones por encima de otras consideraciones. Estimamos deseable que en esta ocasión se llegue a un consenso necesario para avanzar en cuestiones que requieren respuestas urgentes. Y en ese sentido, reitero la disponibilidad de nuestra sociedad para que, desde nuestra capacidad de reflexión, transversalidad y comprensión global del sistema educativo, acepten nuestras reflexiones y nuestra colaboración en la mejora de nuestro sistema educativo en todos sus niveles.
Muchas gracias por su atención.

viernes, 6 de octubre de 2017

La psicosis por los exámenes



La psicosis por los exámenes vuelve corregida y aumentada.

¡Peligro! el perfil del profesor-examinador-examinado puede acabar privando a los educadores de la perspectiva necesaria para entender el papel de la escuela, desvirtuar la cultura y borrar la didáctica.


Las reválidas desaparecieron del sistema educativo español con la Ley General de Educación de 1970 siendo sustituídas por el concepto de enseñanza personalizada y evaluación continua. A pesar de ello, después de un par de generaciones, nuestro sistema educativo sigue traumatizado por los exámenes y parece no haberse recuperado. A mi jucio sucede con este tema algo parecido a lo que ilustra esta historia de monos y bananas

Ya, a finales del siglo XIX, en un artículo de 1894, planteaba Francisco Giner de los Ríos el dilema “O educación o examen” [1].
"El maestro, esclavizado a una tarea servil, no puede consagrar lo mejor de sus fuerzas a aquello que más responde a su vocación y que él realizaría con superior desempeño, sino a ese ideal de satisfacer a los examinadores: todo lo demás es perjudicial, o cuando menos artículo de lujo, a que no hay tiempo ni posibilidad de atender. Mientras tanto, por su parte, el discípulo tiende a encogerse de hombros ante la idea nueva, la investigación original, el punto de vista personal y fresco, que es lo único que puede despertar su interés, abrir su espíritu, dilatar su horizonte, fortalecer su inteligencia y su amor al saber y al trabajo. ¿De qué sirve todo esto en un examen? […] Si por examen se entendiese la constante atención del maestro a sus discípulos para darse cuenta de su estado y proceder en consonancia, ¿quién rechazaría semejante método sin el cual no hay obra educativa posible? Pero justamente las pruebas académicas a que se da aquel nombre constituyen un sistema en diametral oposición con ese trato y comunión constante. Pues, donde esta existe, aquel huelga, y, por el contrario, jamás los exámenes florecen, como allí donde el monólogo diario del profesor pone un abismo entre él y sus alumnos.[...] La enseñanza es función viva, personal y flexible."
 La situación que comentaba Giner no cambió mucho en el siglo XX.

Para los curiosos, en el siguiente párrafo se aportan algunos datos muy relevantes que ejemplifican la hipertrofia de exámenes que se ha padecido en España y explican el trauma nacional.

Por ejemplo, en el curso 1965_66, la distribución del alumnado de bachillerato en España, según el Libro Blanco de la Educación de 1969 [2], era así: alumnos oficiales 179.487; alumnos colegiados 366.807; alumnos libres 287.996. Los alumnos colegiados cursaban estudios en centros homologados, generalmente religiosos, y acudían a los Institutos públicos a hacer las reválidas de grado y los exámenes de ingreso. Los alumnos libres, estudiaban en casa o en "academias de piso" y debían ir a examinarse de todas las materias de cada curso al Instituto al igual que los alumnos oficiales. Esta situación se mantuvo de manera semejante hasta los años ochenta, en que culminó la implantación del BUP. Para hacerse una idea de la hipertrofia que suponía examinar a todos estos alumnos (libres, colegiados y oficiales) voy a dar unos datos del curso 1972_73 del Instituto de bachillerato del Cardenal Cisneros de Madrid [3]. En aquella época el Instituto “Cardenal Cisneros” tenía un total de 28.408 alumnos, que se desglosaban en 1.421 oficiales, 25.111 colegiados y 1.876 libres. ¿Os imagináis que un claustro como el del “Cisneros” de entonces (de 45 profesores) tuviese que examinar en junio y septiembre de todas las asignaturas a los alumnos oficiales y los libres (3.277 alumnos) y del examen de ingreso y las reválidas de 4º y 6º de bachillerato a todos los alumnos, incluyendo también a los 25.111 colegiados? No es de extrañar que el sistema haya resultado traumatizado por semejante experiencia. Según estos datos un profesor no hacía otra cosa que poner y corregir exámenes de manera obsesiva a alumnos que no conocía. Por otra parte, el sistema en su conjunto resultaba ser completamente selectivo y asumía esta misión con naturalidad. Para hacerse una idea de la criba que suponía el sistema de reválidas, basta observar estos datos tomados, de nuevo, de El Libro Blanco de la Educación: De cada 100 alumnos que iniciaron la enseñanza primaria en 1951 (con 6 años), llegaron a ingresar 27 en la enseñanza media; aprobaron la reválida de bachillerato elemental 18 y, de ellos, 10 la de bachillerato superior; de los titulados en bachillerato, aprobaron el curso preuniversitario 5; y sólo 3 alumnos, de los 100 iniciales, culminaron sus estudios universitarios en 1967. Esta situación resultaba especialmente cruel porque la selección se cebaba en las clases sociales populares y en determinados territorios. De 100 niños hijos de obreros que iniciaban primaria cursaban enseñanza media 4,2 y enseñanzas superiores 0,2. Mientras, que de 100 niños hijos de directivos que iniciaban primaria, 71,9 cursaban enseñanza media y 14,2 enseñanzas superiores. El desequilibrio territorial también era muy elocuente. En zonas urbanas el porcentaje de la población con estudios medios o superiores era del 7,8%, mientras que en las zonas rurales sólo del 1,6%. La situación de desequilibrio se agudizaba más si se comparan unas regiones con otras. Por ejemplo en Madrid o Salamanca había casi 60 estudiantes universitarios por cada 10.000 habitantes, mientras que en Cádiz o Hueva eran sólo 12.

Con La Ley General de Educación de 1970 se cambia la identificación de enseñanza con preparación de exámenes y se incorporan aspectos relacionados con la didáctica, la tutoría y la educación compensatoria. D. Víctor García Hoz, el padre pedagógico de la Ley de Educación del 70, en su libro “La Educación en la España del siglo XX, escribe un capítulo que titula "La psicosis nacional por los exámenes" en el que podemos leer:
"Alguien dijo que con este plan [el de 1953] el Examen de Estado había desaparecido para quedar establecido el «estado de examen». Porque, efectivamente, una psicosis de examen se iba a apoderar de toda la clase media y de una buena parte de la clase popular afincada en las grandes poblaciones. [...] Parece como si los legisladores estuvieran preocupados únicamente por el modo de realizar los exámenes, como si lo demás no importara nada. Claro está que las formas de evaluación, concretamente los exámenes, condicionan y casi determinan la organización de las actividades y la utilización de unas u otras técnicas docentes. En España, la sucesiva legislación sobre exámenes, yendo toda ella, según sus autores, a suprimir la enseñanza memorística, lo que hicieron fue irla reforzando progresivamente. A pesar de todo, podemos sentirnos optimistas una vez más, pensando que el estímulo hacia la evaluación continua, iniciada a raíz de la Ley de 1970, y la aceptación de la promoción natural, facilite la introducción de contenidos y técnicas de enseñanza y aprendizaje que sean en verdad elementos de formación personal para los estudiantes."
 No hay que perderse la opinión tan negativa que tenía Pedro Puig Adam sobre una enseñanza de las Matemáticas que toma como referencia los exámenes. Opinión que expresa claramente en este párrafo tomado de su artículo "El valor formativo de las Matemáticas" [5]:
 "Es muy difícil ser buen educador y buen preparador a un tiempo. Admitido que el prestigio de los Centros de enseñanza esté involucrado al éxito de sus alumnos en ciertos exámenes; los profesores de los mismos tenderán fatalmente a fabricar con la materia prima de su alumnado un producto artificial adecuado a las mencionadas pruebas, sacrificando si es preciso los valores auténticamente formativos y aun la salud física y mental del alumno, quizás sin darse cuenta de ello. Sé que el mal tiene muy difícil remedio. pero no me parece imposible la humanización del régimen de pruebas mientras no sea alcanzable el ideal de la supresión de ellas, o lo que es lo mismo, convertir en prueba única la vida entera del escolar. "
Como muestra de otras opiniones en esta línea, recojo este párrafo tomado del libro "La Enseñanza en España" de 1969 [6]
“Las consecuencias negativas del sistema [de reválidas] son gravísimas para el niño porque rebasan con mucho el aspecto académico para afectar la esencia misma de su formación humana: la ciencia, la cultura, las adquisiciones más costosas y nobles del saber humano le son mostradas en una perspectiva completamente deformada, como fuente de angustia y no de enriquecimiento, lo que dejará en él una huella decisiva . El amor a la verdad, los hábitos de reflexión y análisis no sólo no se fomentan sino que se evitan como contraproducentes.
Y sobre todo se le inicia, en su más temprana infancia, a la picaresca y al truco, a la hipervaloración de la suerte sobre el esfuerzo, en una palabra a la inmoralidad, le enseña a adaptarse a la injusticia  y vivirla como un fenómeno natural. El sistema [de las alumnos libre] hace que los profesores no puedan funcionar realmente como tales, sino como personas que ayudan a preparar un examen. Ni el centro, ni los profesores pueden asumir función educadora alguna. Ni siquiera enfocar didácticamente las materias que explican de un modo mínimamente creador,
¿Nos estamos cargando la Ciencia con una enseñanza basada sólo en exámenes?

Albert Einstein también comentaba en sus Memorias [7] la mala experiencia que supusieron para él una enseñanza basada en exámenes.
 […] para los exámenes había que embutirse todo ese material en la cabeza, quisieras o no. Semejante coacción tenía efectos tan espantosos, que tras aprobar el examen final se me quitaron las ganas de pensar en problemas científicos durante un año entero. He de decir, sin embargo, que en Suiza sufríamos menos que en muchos otros lugares bajo esta coerción que asfixia el verdadero impulso científico.
[…] En realidad es casi un milagro que los modernos métodos de enseñanza no hayan estrangulado ya la sagrada curiosidad de la investigación, pues, aparte de estímulo, esta delicada planta necesita sobre todo de libertad; sin ésta se marchita indefectiblemente. Es grave error creer que la ilusión de mirar y buscar puede fomentarse a golpe de coacción y sentido del deber. Pienso que incluso a un animal de presa sano se le podría privar de su voracidad si, a punta de látigo, se le obliga continuamente a comer cuando no tiene hambre, y sobre todo si se eligen de manera conveniente los alimentos así ofrecidos.

(A. Einstein, Notas autobiográficas, Madrid, Alianza, 1984, págs. 21-22.)
 Santiago Ramón y Cajal escribió un libro fabuloso: "Reglas y consejos a los investigadores científicos. Los tónicos de la voluntad". El Nobel viene a decir que la investigación científica y el desarrollo de la inteligencia se basa en estar pensando mucho tiempo sobre la misma cosa. Tenazmente, con sosiego.

“Toda obra grande es fruto de la paciencia y la perseverancia, combinada con la atención orientada tenazmente durante meses, y aun años, a un objeto particular”. 



De acuerdo con el maestro Cajal, estamos convencidos de que uno de los mejores métodos de estimular la inteligencia es tener un tema en la cabeza. Un centro de interés. Al cabo del tiempo, todo lo que nos rodea nos lleva a profundizar más y más en él, a establecer nuevas conexiones. Mientras pulimos nuestras primeras ideas, elaboramos nuestro personal punto de vista. Poco a poco van naciendo ideas originales. Se gana la personalidad y el criterio.

Tenemos que ser conscientes de que cuando ponemos toda nuestra atención en preparar exámenes (olvidando los aspectos profundos)  les mandamos  a los jóvenes  mensajes tan nocivos como  estos:

1) No estudies problemas laboriosos. En un examen no te los pueden poner porque no da tiempo a hacerlos en una hora. Las cosas de pensar no entran.
2) Si no sabes una pregunta pasa a otra. No pierdas el tiempo dándole vueltas a las cosas. Adiós a la investigación científica.
3) No repases. No repienses. No te asegures de que lo que dices es correcto. Es preferible hacer las cosas para salir del paso, aunque sean falsas, estén regular o imcompletas.
4) Estudia para los globales. No profundices. No amplíes. Aprende sólo un poquito de cada cosa, siempre por encima, para aparentar que sabes.
5) No leas los libros completos, solo los resúmense. No deduzcas las fórmulas, solo aplícalas. No hagas experimentos. Cuando tengas dudas no preguntes,.... o mejor no te plantees dudas.
6) Tú limítate a memorizar la fórmula. Aplícala aunque no la entiendas.
7) Las demostraciones no entran. Son perder el tiempo. Adiós al pensamiento sutil.
8) Los experimentos no entran. Los trabajos con tecnologías nuevas  no entran.
9) Vale engañar,siempre que no te pillen. Lo importante son los resultados. Reclama, protesta, presiona a los profesores. No es la "cultura del esfuerzo", es la "cultura de la trampa" lo que se incentiva.
10) No busques bibliografía, ni elabores apuntes, no acopies información. En los exámenes no te dejarán consultar nada. Sólo memoriza.
11) No valores el trabajo del profesor y del grupo. Lo importante es la nota que sacas.Hasta la fecha del examen no hay nada que hacer en clase.
12) Merece la pena protestar las notas, intimidar a los profesores, coaccionarlos. Todo vale para aprobar.

Y lo grave es que los errores de didáctica y pedagogía se tapan con autoritarismo y "mal rollo", lo que hace que las relaciones entre los miembros de la comunidad escolar se vuelvan tóxicas.

Cuando veo a los chicos correr como pollos sin cabeza intentando memorizar unos apuntes minutos antes del examen me da mucha pena. No me imagino a Don Santiago Ramón y Cajal, todo angustiado, hasta las orejas de Redbull, corriendo con el microscopio de un lado para otro. ¿Os imagináis a Menéndez Pidal paseando nervioso con el Poema deMio Cid en la mano? Yo me los imagino tranquilos, sentados en una mesa, rodeados de papeles y de libros,  haciendo un trabajo paciente y concienzudo.


Mi experiencia de haber trabajado en centros de Formación Profesional, me pone como referencia el modelo de "aprender haciendo" tal como se hace trabajando a diario en un taller. En Formación profesional se acreditan las competencias trabajando sistemáticamente en un taller, no con exámenes.

En un taller:

• Se da con naturalidad la motivación por el logro.
• Se aprende de los errores, sin frustración.
• Se aprende con gusto observando e imitando a los maestros.
• Se aprende haciendo con los demás, en equipo.
• Se intenta mejorar los métodos a partir de prototipos.
• Se procura ir más allá. Una cosa lleva a otra. Se profundiza.
• Se pone atención en lo que se está haciendo.
• Se valoran las herramientas nuevas.
• Siempre se está aprendiendo a partir de lo que ya se sabe.
• Hay que hacer las cosas cada vez mejor. Se evitan las chapuzas.
• Todo el mundo tiene su sitio. Es fácil la integración y la educación inclusiva.
• No es necesaria una disciplina estricta. La normas  del taller son el buen funcionamiento. Se aceptan con naturalidad. El ambiente es natural y positivo.


LA PSICOSIS POR LOS EXÁMENES NO FOMENTA LA "CULTURA DEL ESFUERZO", SINO LA "CULTURA DE LAS TRAMPAS".













Algunas referencias al debate sobre las pruebas estandarizadas en Estados Unidos

Para terminar, algunas referencias a la polémica que se ha dado al respecto de las pruebas estandarizadas del programa No Chield Left Behind en Estados Uniodos.

La competencia entre centros y las pruebas standarizadas ha traído la cultura de las TRAMPAS y de la insolidaridad (que NO la cultura del esfuerzo)

http://edition.cnn.com/2011/OPINION/07/13/jackson.schools.cheating/index.html


También han traído el deterioro de la formación del profesorado y el empobrecimiento de la enseñanza de las Matemáticas y la Ciencia, según la American Mathematical Society

http://www.ams.org/notices/201306/rnoti-p763.pdf

Lo dice el New York Times: La obsesión por los exámenes es un problema:

 

 Con la llegada de la LOMCE se ha sumado al tradicional trauma nacional por los exámenes las teorías neoliberales de los rankins competitivos entre centros y profesores. Una mezcla muy preocupante si la juntamos con la mediocridad de los gestores.

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[1] Obras selectas de Francisco Giner de los Ríos. Edición de Isabel Pérez-Villanueva Tovar. Austral-Summa,
2004
[2] La Educación en España. Bases para una política educativa. Ministerio de Educación y Ciencia, 1969.
[3] El Instituto del cardenal Cisneros. Crónica de la enseñanza secundaria en españa (1845-1976). Gloria
González y Begoña Talavera. 2014.
[4] La educación en la España del siglo XX. Víctor García Hoz. Editorial Rialp, 1980.
[5] El valor formativo de las Matemáticas en laEnseñanza Secundaria. Pedro Puig Adam. 1951.
[6]  "La enseñanza en España" Colección EBRO. 1969.
[7] A. Einstein, Notas autobiográficas, Madrid, Alianza, 1984, págs. 21-22.)

domingo, 24 de septiembre de 2017

Matemáticas Gourmet: Raíz de 2 es un número irracional (una demostración aritmética y otra geométrica)


Recuerdo que Miguel de Guzmán decía  que hay algunas demostraciones sencillas cargadas de profundidad matemática que había que regalar a los alumnos de educación secundaria (aunque no entren en los exámenes). Una de estas joyas es la demostración de la irracionalidad de la raíz de dos.

Usando la raíz de dos como pretexto, se puede sacar mucho partido para apreder verdaderas matemáticas "gourmet". Demosstrar que la raíz de dos es un número irracional es una excelente introducción al razonamiento por reducción al absurdo y al método del descenso infinito y una manera de compreder el significado de la recta real.

Hay una buena recopilación de demostraciones de la irracionalidad de la raíz de 2 en estas entradas Gaussianos.
 Dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2

Una demostración geométrica de la irracionalidad de raiz de 2

En el siguiente documento hemos expuesto dos demostraciones de la irracionalidad de la raíz de dos. Están redactadas para que las puedan entender alumnos de primero de bachillerato. La primera  demostración es la más conocida. Se basa en la teoría de múltiplos y se basa en el método de reducción al absurdo. Esta demostración, era frecuente encontrarla en muchos libros de texto. Hoy en día, no tanto.

La segunda demostración es geométrica. Y lo que demuestra es la incomesurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado. Está básicamente copiada del clásico libro Geometría Métrica de Pedro Puig Adam. La exposición del maestro es insuperable e introduce el método del descenso infinito.

Como curiosidad histórica esta demostración de la incomesurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado le costó la vida al pitagórico, que con esta evidencia, echaba por tierra la creencia de que todas las medidas podían expresarse mediante uana unidad común.


https://es.scribd.com/document/359772463/Raiz-de-2-Es-Un-Numero-Irracional